Druhy úhlů

Co je úhel?

Úhel je míra otočení mezi dvěma polopřímkami, rameny, které vycházejí z jednoho bodu, vrcholu. Jeho velikost nezávisí na tom, jak dlouhá ramena nakreslíte.

Úhly se obvykle měří ve stupních: celá otáčka má 360°, čtvrt otáčky tedy 90°. V matematice a technice se používají také radiány, kde celá otáčka odpovídá 2π. Převod úhlů převádí mezi stupni, radiány a dalšími jednotkami.

Šest druhů úhlů

Každý úhel od 0° do 360° patří do jednoho z těchto druhů.

Ostrý úhel

Ostrý úhel je větší než 0° a menší než 90°: užší než roh čtverce.

• Špička kousku pizzy nebo klínku sýra.
• Ručičky hodin v jednu nebo ve dvě hodiny.
• Trochu rozevřené nůžky.

Pro kontrolu přiložte roh listu papíru: vejde-li se úhel do rohu papíru, je ostrý. Jak narýsovat běžné úhly, najdete v části o úhlech 30°, 45° a 60°.

Pravý úhel

Pravý úhel má přesně 90°, čtvrt otáčky. Značí se malým čtverečkem v rohu a dvě přímky, které se protínají v pravém úhlu, jsou na sebe kolmé.

• Rohy knihy, dveří nebo dlaždice.
• Ručičky hodin ve tři hodiny.
• Stěna na vodorovné podlaze.

Skutečný roh zkontrolujete pravidlem 3-4-5: 3 jednotky na jedné straně, 4 na druhé a přesně 5 mezi značkami znamená 90°. Další způsoby, jak vytyčit a zkontrolovat úhel 90°.

Tupý úhel

Tupý úhel je větší než 90° a menší než 180°: širší než pravoúhlý roh, ale ještě to není přímka.

• Displej notebooku sklopený dozadu za svislou polohu.
• Ručičky hodin v pět hodin.
• Vnitřní úhly šestiúhelníku, 120°.

Vejde-li se roh listu papíru do úhlu s rezervou a ramena netvoří přímku, je úhel tupý.

Přímý úhel

Přímý úhel má přesně 180°, půl otáčky. Jeho ramena míří opačnými směry a tvoří přímku, takže každý bod přímky lze považovat za vrchol přímého úhlu.

• Úplně rozevřená kniha položená naplocho.
• Ručičky hodin v šest hodin.

Nekonvexní úhel

Nekonvexní úhel je větší než 180° a menší než 360°. Každý úhel menší než celá otáčka má nekonvexní protějšek: druhou stranu kolem vrcholu. Úhel 60° a nekonvexní úhel 300° mají stejná dvě ramena.

Úhel, který daný úhel doplní na celou otáčku, je doplněk do 360°; výpočet doplňkových a vedlejších úhlů ho spočítá spolu s doplňkem do 90° a do 180°.

Plný úhel

Plný úhel má přesně 360°: celou otáčku, po které se rameno vrátí tam, kde začalo. Nulový úhel, 0°, je jeho opak: obě ramena míří stejným směrem a k žádnému otočení nedojde.

Dvojice úhlů

Některé úhly se pojmenovávají podle vztahu k jinému úhlu. Doplňkové úhly mají dohromady 90° a výplňkové úhly dohromady 180°; výpočet doplňkových a vedlejších úhlů najde oba a zkontroluje jakoukoli dvojici.

Sousední, vrcholové a vedlejší úhly

Když se protnou dvě přímky, vzniknou čtyři úhly. Potáhněte za jednu z přímek a sledujte, jak spolu souvisejí.

• Sousední úhly mají společný vrchol a jedno rameno a nepřekrývají se, jako a a b.
• Vrcholové úhly leží proti sobě na opačných stranách vrcholu, jako a a c. Jsou vždy shodné.
• Vedlejší úhly jsou dva sousední úhly, jejichž zbývající ramena tvoří přímku, jako a a b. Dohromady mají vždy 180°.

Úhly u rovnoběžek

Přímka, která protíná dvě jiné přímky, se nazývá příčka. V každém průsečíku vytváří čtyři úhly, a když jsou obě přímky rovnoběžné, tvoří tyto úhly předvídatelné dvojice.

• Souhlasné úhly leží u obou průsečíků ve stejné poloze. U rovnoběžek jsou shodné.
• Střídavé vnitřní úhly leží mezi oběma přímkami, na opačných stranách příčky. U rovnoběžek jsou shodné.
• Střídavé vnější úhly leží vně obou přímek, na opačných stranách příčky. U rovnoběžek jsou shodné.
• Přilehlé vnitřní úhly leží mezi přímkami na stejné straně příčky. U rovnoběžek mají dohromady 180°.

Platí to i obráceně: jsou-li souhlasné nebo střídavé úhly shodné, musí být obě přímky rovnoběžné.

Výškový úhel a hloubkový úhel

Výškový úhel je úhel, pod kterým se díváte nahoru, od vodorovné roviny k něčemu nad vámi, třeba ke špičce stromu. Hloubkový úhel je úhel, pod kterým se díváte dolů, od vodorovné roviny k něčemu pod vámi, třeba k lodi viděné z útesu. Z obou konců téže přímky pohledu jsou oba úhly shodné.

Znáte-li vzdálenost k objektu, výškový úhel vám dá jeho výšku: výška = vzdálenost × tg(úhel).

Jak telefonem změřit výškový úhel

1. Otevřete měření fotoaparátem a zamiřte zaměřovací kříž na vrchol měřeného objektu.
2. Odečtěte úhel, případně údaj zastavte, abyste si ho zapsali.
3. Zadejte vzdálenost k patě objektu a získáte výšku. Poslouží i sklonoměr: zamiřte podél delší hrany telefonu.

Příklad: stojíte 20 m od stromu a jeho špičku vidíte pod úhlem 35°. Výška nad vašima očima je 20 × tg 35° ≈ 14,0 m. Přičtěte výšku očí, zhruba 1,6 m, a strom je vysoký asi 15,6 m. Výpočet sklonu provede stejný výpočet pro jakoukoli vzdálenost a úhel.

Úhel sklonu svahu, rampy nebo střechy je jeho výškový úhel nad vodorovnou rovinou. Výpočet sklonu ho převede na procenta nebo poměr.

Jak změřit úhel

• Na obrazovce nebo na výkresu: přiložte k úhlu úhloměr na obrazovce a přetáhněte jeho ramena na čáry.
• Na fotografii: otevřete obrázek v měření na fotografii a označte tři body.
• Na skutečné ploše: položte na ni telefon a odečtěte sklonoměr.
• Na papíře: vytiskněte si úhloměr ve skutečné velikosti.

Při odečítání papírového úhloměru přiložte jeho střed k vrcholu, nulovou rysku srovnejte s jedním ramenem a čtěte stupnici, která u tohoto ramene začíná nulou. Druhá stupnice by vám omylem dala doplněk do 180°.

Časté otázky

Kolik je druhů úhlů?

Podle velikosti jich je šest: ostrý, pravý, tupý, přímý, nekonvexní a plný, a některé přehledy přidávají nulový úhel, takže vychází sedm. Delší seznamy s 12 a více druhy počítají i dvojice úhlů, jako jsou doplňkové, výplňkové, vedlejší a vrcholové úhly, které popisují vztah dvou úhlů, ne velikost jednoho úhlu.

Jaký úhel je 95°?

Tupý. Každý úhel větší než 90° a menší než 180° je tupý, i když je 90° velmi blízko.

Je úhel 90° ostrý?

Ne. Ostré úhly jsou menší než 90°. Úhel přesně 90° je pravý úhel.

Jaké úhly má trojúhelník?

Každý trojúhelník má alespoň dva ostré úhly a třetí úhel mu dává jméno: ostroúhlý trojúhelník má tři ostré úhly, pravoúhlý trojúhelník jeden pravý úhel a tupoúhlý trojúhelník jeden tupý úhel.

Může mít trojúhelník dva tupé úhly?

Ne. Tři úhly trojúhelníku dávají dohromady 180° a už samotné dva tupé úhly by tento součet překročily. Trojúhelník má nejvýš jeden pravý nebo jeden tupý úhel; výpočet trojúhelníku vyřeší jakýkoli trojúhelník ze tří hodnot.

Jaký je rozdíl mezi přímým a nekonvexním úhlem?

Přímý úhel má přesně 180°. Nekonvexní úhel je jakýkoli úhel mezi 180° a 360°: větší než přímka, ale menší než celá otáčka.

Jaké úhly má čtverec a rovnoběžník?

Čtverec má jako každý obdélník čtyři pravé úhly. Rovnoběžník, který není obdélníkem, má dva ostré a dva tupé úhly: protější úhly jsou shodné a dva úhly vedle sebe mají dohromady 180°, jsou tedy výplňkové.