Είδη γωνιών

Τι είναι η γωνία;

Γωνία είναι το μέγεθος της στροφής ανάμεσα σε δύο ημιευθείες, τις πλευρές, που ξεκινούν από ένα σημείο, την κορυφή. Το μέγεθός της δεν εξαρτάται από το πόσο μακριές σχεδιάζονται οι πλευρές.

Οι γωνίες μετριούνται συνήθως σε μοίρες: μια πλήρης περιστροφή είναι 360°, άρα ένα τέταρτο της περιστροφής είναι 90°. Στα μαθηματικά και στην τεχνική χρησιμοποιούνται επίσης τα ακτίνια, όπου η πλήρης περιστροφή ισούται με 2π. Ο μετατροπέας γωνιών μετατρέπει μοίρες, ακτίνια και άλλες μονάδες.

Τα έξι είδη γωνιών

Κάθε γωνία από 0° έως 360° ανήκει σε ένα από αυτά τα είδη.

Οξεία γωνία

Οξεία γωνία είναι μεγαλύτερη από 0° και μικρότερη από 90°: πιο στενή από τη γωνία ενός τετραγώνου.

• Η μύτη ενός κομματιού πίτσας ή μιας φέτας τυριού.
• Οι δείκτες του ρολογιού στη μία ή στις δύο.
• Ένα ψαλίδι λίγο ανοιχτό.

Για να ελέγξετε, φέρτε κοντά τη γωνία ενός φύλλου χαρτιού: αν η γωνία χωρά μέσα στη γωνία του φύλλου, είναι οξεία. Δείτε τις γωνίες 30°, 45° και 60° για να χαράξετε τις συνηθισμένες.

Ορθή γωνία

Ορθή γωνία είναι ακριβώς 90°, ένα τέταρτο της περιστροφής. Σημειώνεται με ένα μικρό τετράγωνο στην κορυφή, και δύο ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία είναι κάθετες.

• Οι γωνίες ενός βιβλίου, μιας πόρτας ή ενός πλακιδίου.
• Οι δείκτες του ρολογιού στις τρεις.
• Ένας τοίχος πάνω σε οριζόντιο δάπεδο.

Για μια πραγματική γωνία, χρησιμοποιήστε τον κανόνα 3-4-5: 3 μονάδες στη μία πλευρά, 4 στην άλλη και ακριβώς 5 ανάμεσα στα σημάδια σημαίνει 90°. Περισσότεροι τρόποι να χαράξετε και να ελέγξετε γωνία 90°.

Αμβλεία γωνία

Αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180°: πιο ανοιχτή από μια ορθή γωνία, αλλά όχι ακόμη ευθεία γραμμή.

• Η οθόνη ενός λάπτοπ γερμένη πίσω πέρα από την κατακόρυφο.
• Οι δείκτες του ρολογιού στις πέντε.
• Οι εσωτερικές γωνίες ενός εξαγώνου, 120°.

Αν η γωνία ενός φύλλου χαρτιού χωρά με άνεση μέσα στη γωνία και οι πλευρές δεν σχηματίζουν ευθεία, η γωνία είναι αμβλεία.

Ευθεία γωνία

Ευθεία γωνία είναι ακριβώς 180°, μισή περιστροφή. Οι πλευρές της δείχνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις και σχηματίζουν ευθεία γραμμή, οπότε κάθε σημείο μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί κορυφή ευθείας γωνίας.

• Ένα βιβλίο ανοιγμένο εντελώς και ακουμπισμένο επίπεδα.
• Οι δείκτες του ρολογιού στις έξι.

Μη κυρτή γωνία

Μη κυρτή γωνία είναι μεγαλύτερη από 180° και μικρότερη από 360°. Κάθε γωνία μικρότερη από πλήρη περιστροφή έχει ένα μη κυρτό «ταίρι»: τον δρόμο από την άλλη πλευρά γύρω από την κορυφή. Μια γωνία 60° και μια μη κυρτή γωνία 300° έχουν τις ίδιες δύο πλευρές.

Η γωνία που συμπληρώνει μια άλλη έως την πλήρη περιστροφή λέγεται συμπλήρωμα έως 360°· ο υπολογισμός συμπληρωματικών και παραπληρωματικών γωνιών τη βρίσκει μαζί με τη συμπληρωματική και την παραπληρωματική.

Πλήρης γωνία

Πλήρης γωνία είναι ακριβώς 360°: μια ολόκληρη περιστροφή, μετά την οποία η πλευρά επιστρέφει εκεί απ’ όπου ξεκίνησε. Η μηδενική γωνία, 0°, είναι το αντίθετο: και οι δύο πλευρές δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση και δεν υπάρχει καμία στροφή.

Ζεύγη γωνιών

Ορισμένες γωνίες ονομάζονται από τη σχέση τους με μια άλλη γωνία. Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90° και οι παραπληρωματικές γωνίες άθροισμα 180°· ο υπολογισμός συμπληρωματικών και παραπληρωματικών γωνιών βρίσκει και τις δύο και ελέγχει οποιοδήποτε ζεύγος.

Εφεξής γωνίες, κατακορυφήν γωνίες και γωνίες σε ευθεία

Όταν δύο ευθείες τέμνονται, σχηματίζονται τέσσερις γωνίες. Σύρετε τη μία ευθεία για να δείτε πώς συνδέονται μεταξύ τους.

• Οι εφεξής γωνίες έχουν κοινή κορυφή και μία κοινή πλευρά χωρίς να επικαλύπτονται, όπως οι a και b.
• Οι κατακορυφήν γωνίες βρίσκονται απέναντι η μία από την άλλη, εκατέρωθεν της κορυφής, όπως οι a και c. Είναι πάντα ίσες.
• Οι εφεξής παραπληρωματικές γωνίες είναι δύο εφεξής γωνίες των οποίων οι μη κοινές πλευρές σχηματίζουν ευθεία, όπως οι a και b. Το άθροισμά τους είναι πάντα 180°.

Γωνίες σε παράλληλες ευθείες

Μια ευθεία που τέμνει δύο άλλες ευθείες λέγεται τέμνουσα. Σε κάθε σημείο τομής σχηματίζει τέσσερις γωνίες, και όταν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, οι γωνίες αυτές σχηματίζουν ζεύγη με προβλέψιμο τρόπο.

• Οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες βρίσκονται στην ίδια θέση σε κάθε σημείο τομής. Σε παράλληλες ευθείες είναι ίσες.
• Οι εντός εναλλάξ γωνίες βρίσκονται ανάμεσα στις δύο ευθείες, σε αντίθετες πλευρές της τέμνουσας. Σε παράλληλες ευθείες είναι ίσες.
• Οι εκτός εναλλάξ γωνίες βρίσκονται έξω από τις δύο ευθείες, σε αντίθετες πλευρές της τέμνουσας. Σε παράλληλες ευθείες είναι ίσες.
• Οι εντός και επί τα αυτά γωνίες βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες, στην ίδια πλευρά της τέμνουσας. Σε παράλληλες ευθείες έχουν άθροισμα 180°.

Ισχύει και το αντίστροφο: αν οι εντός εκτός και επί τα αυτά ή οι εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Γωνία ανύψωσης και γωνία βύθισης

Η γωνία ανύψωσης είναι η γωνία υπό την οποία κοιτάτε προς τα πάνω, από την οριζόντια προς κάτι που βρίσκεται ψηλότερα, για παράδειγμα την κορυφή ενός δέντρου. Η γωνία βύθισης είναι η γωνία υπό την οποία κοιτάτε προς τα κάτω, από την οριζόντια προς κάτι χαμηλότερα, για παράδειγμα μια βάρκα που φαίνεται από έναν γκρεμό. Από τα δύο άκρα της ίδιας οπτικής γραμμής, οι δύο γωνίες είναι ίσες.

Αν ξέρετε πόσο μακριά βρίσκεται κάτι, η γωνία ανύψωσης σας δίνει το ύψος του: ύψος = απόσταση × εφ(γωνία).

Πώς να μετρήσετε γωνία ανύψωσης με το κινητό

1. Ανοίξτε τη μέτρηση με κάμερα και στρέψτε το σταυρόνημα στην κορυφή αυτού που μετράτε.
2. Διαβάστε τη γωνία ή κρατήστε την ένδειξη για να τη σημειώσετε.
3. Εισαγάγετε την απόσταση ως τη βάση για να πάρετε το ύψος. Λειτουργεί και το κλισίμετρο: σκοπεύστε κατά μήκος της μεγάλης πλευράς του κινητού.

Παράδειγμα: στέκεστε 20 m από ένα δέντρο και βλέπετε την κορυφή του υπό γωνία 35°. Το ύψος πάνω από τα μάτια σας είναι 20 × εφ 35° ≈ 14,0 m. Προσθέστε το ύψος των ματιών σας, περίπου 1,6 m, και το δέντρο έχει ύψος περίπου 15,6 m. Ο υπολογισμός κλίσης κάνει τον ίδιο υπολογισμό για κάθε απόσταση και γωνία.

Η γωνία κλίσης μιας πλαγιάς, μιας ράμπας ή μιας στέγης είναι η γωνία ανύψωσής της από την οριζόντια. Ο υπολογισμός κλίσης τη μετατρέπει σε ποσοστό ή αναλογία.

Πώς μετράμε μια γωνία

• Σε οθόνη ή σχέδιο: τοποθετήστε το μοιρογνωμόνιο της οθόνης πάνω στη γωνία και σύρετε τις πλευρές του πάνω στις γραμμές.
• Σε φωτογραφία: ανοίξτε την εικόνα στη μέτρηση σε φωτογραφία και σημειώστε τρία σημεία.
• Σε πραγματική επιφάνεια: ακουμπήστε το κινητό πάνω της και διαβάστε το κλισίμετρο.
• Σε χαρτί: τυπώστε ένα μοιρογνωμόνιο σε φυσικό μέγεθος.

Όταν διαβάζετε ένα χάρτινο μοιρογνωμόνιο, τοποθετήστε το κέντρο του στην κορυφή, ευθυγραμμίστε τη γραμμή του μηδενός με τη μία πλευρά και διαβάστε την κλίμακα που ξεκινά από το μηδέν σε αυτή την πλευρά. Αν διαβάσετε την άλλη κλίμακα, θα πάρετε κατά λάθος την παραπληρωματική.

Συχνές ερωτήσεις

Πόσα είδη γωνιών υπάρχουν;

Ανάλογα με το μέγεθος υπάρχουν έξι: οξεία, ορθή, αμβλεία, ευθεία, μη κυρτή και πλήρης, και μερικές λίστες προσθέτουν τη μηδενική γωνία φτάνοντας τις επτά. Μεγαλύτερες λίστες με 12 ή περισσότερα είδη μετρούν επίσης ζεύγη γωνιών, όπως συμπληρωματικές, παραπληρωματικές, εφεξής και κατακορυφήν, που περιγράφουν τη σχέση δύο γωνιών κι όχι το μέγεθος μίας.

Τι γωνία είναι οι 95°;

Αμβλεία. Κάθε γωνία μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180° είναι αμβλεία, όσο κοντά κι αν είναι στις 90°.

Είναι οξεία η γωνία των 90°;

Όχι. Οι οξείες γωνίες είναι μικρότερες από 90°. Μια γωνία ακριβώς 90° είναι ορθή.

Τι είδη γωνιών έχει ένα τρίγωνο;

Κάθε τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο οξείες γωνίες, και η τρίτη γωνία του δίνει το όνομα: ένα οξυγώνιο τρίγωνο έχει τρεις οξείες γωνίες, ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία ορθή γωνία και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει μία αμβλεία γωνία.

Μπορεί ένα τρίγωνο να έχει δύο αμβλείες γωνίες;

Όχι. Οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα 180°, και μόνο δύο αμβλείες γωνίες θα το ξεπερνούσαν. Ένα τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή μία αμβλεία γωνία· ο υπολογισμός τριγώνου λύνει κάθε τρίγωνο από τρεις τιμές.

Ποια η διαφορά ευθείας και μη κυρτής γωνίας;

Η ευθεία γωνία είναι ακριβώς 180°. Μη κυρτή είναι κάθε γωνία ανάμεσα σε 180° και 360°: μεγαλύτερη από ευθεία γραμμή, αλλά μικρότερη από πλήρη περιστροφή.

Τι γωνίες έχουν το τετράγωνο και το παραλληλόγραμμο;

Ένα τετράγωνο, όπως κάθε ορθογώνιο, έχει τέσσερις ορθές γωνίες. Ένα παραλληλόγραμμο που δεν είναι ορθογώνιο έχει δύο οξείες και δύο αμβλείες γωνίες: οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, και δύο διαδοχικές γωνίες αθροίζουν 180°.