Rodzaje kątów

Czym jest kąt?

Kąt to miara obrotu między dwiema półprostymi, zwanymi ramionami, które spotykają się w punkcie zwanym wierzchołkiem. Jego miara nie zależy od tego, jak długie ramiona narysujesz.

Kąty mierzy się zwykle w stopniach: pełny obrót to 360°, więc ćwierć obrotu to 90°. W matematyce i technice używa się też radianów, w których pełny obrót wynosi 2π. Przelicznik kątów zamienia stopnie na radiany i inne jednostki.

Sześć rodzajów kątów

Każdy kąt od 0° do 360° należy do jednego z tych rodzajów.

Kąt ostry

Kąt ostry ma więcej niż 0° i mniej niż 90°: jest węższy niż narożnik kwadratu.

• Czubek kawałka pizzy albo klina sera.
• Wskazówki zegara o godzinie pierwszej lub drugiej.
• Lekko rozchylone nożyczki.

Aby to sprawdzić, przyłóż róg kartki: jeśli kąt mieści się w narożniku kartki, jest ostry. Jak wyznaczyć popularne kąty, opisujemy w części o kątach 30°, 45° i 60°.

Kąt prosty

Kąt prosty ma dokładnie 90°, czyli ćwierć obrotu. Oznacza się go małym kwadratem w narożniku, a dwie proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

• Narożniki książki, drzwi lub płytki.
• Wskazówki zegara o godzinie trzeciej.
• Ściana stojąca na poziomej podłodze.

Prawdziwy narożnik sprawdzisz regułą 3-4-5: 3 jednostki na jednym boku, 4 na drugim i dokładnie 5 między znacznikami oznacza 90°. Więcej sposobów wyznaczania i sprawdzania kąta 90°.

Kąt rozwarty

Kąt rozwarty ma więcej niż 90° i mniej niż 180°: jest szerszy niż narożnik pod kątem prostym, ale nie tworzy jeszcze linii prostej.

• Ekran laptopa odchylony do tyłu poza pion.
• Wskazówki zegara o godzinie piątej.
• Kąty wewnętrzne sześciokąta, po 120°.

Jeśli róg kartki mieści się w kącie z zapasem, a ramiona nie tworzą linii prostej, kąt jest rozwarty.

Kąt półpełny

Kąt półpełny ma dokładnie 180°, czyli pół obrotu. Jego ramiona biegną w przeciwnych kierunkach i tworzą linię prostą, więc każdy punkt prostej można uznać za wierzchołek kąta półpełnego.

• Książka otwarta i położona całkiem płasko.
• Wskazówki zegara o godzinie szóstej.

Kąt wklęsły

Kąt wklęsły ma więcej niż 180° i mniej niż 360°. Każdy kąt mniejszy od pełnego ma wklęsłego partnera: drugą stronę wokół wierzchołka. Kąt 60° i kąt wklęsły 300° mają te same dwa ramiona.

Kąt, który uzupełnia dany kąt do pełnego obrotu, to kąt dopełniający do 360°; kalkulator kątów dopełniających i przyległych oblicza go razem z kątem dopełniającym do 90° i kątem przyległym.

Kąt pełny

Kąt pełny ma dokładnie 360°: cały obrót, po którym ramię wraca tam, skąd wyszło. Kąt zerowy, 0°, to jego przeciwieństwo: oba ramiona wskazują ten sam kierunek i nie ma żadnego obrotu.

Pary kątów

Niektóre kąty nazywa się według ich związku z innym kątem. Kąty dopełniające dają razem 90°, a kąty przyległe razem 180°; kalkulator kątów dopełniających i przyległych znajdzie każdy z nich i sprawdzi dowolną parę.

Kąty sąsiednie, wierzchołkowe i przyległe

Gdy dwie proste się przecinają, powstają cztery kąty. Przeciągnij jedną z prostych, aby zobaczyć zależności między nimi.

• Kąty sąsiednie mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię i nie nachodzą na siebie, jak a i b.
• Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie po obu stronach wierzchołka, jak a i c. Zawsze są równe.
• Kąty przyległe to dwa kąty sąsiednie, których pozostałe ramiona tworzą linię prostą, jak a i b. Zawsze dają razem 180°.

Kąty przy prostych równoległych

Prosta, która przecina dwie inne proste, to sieczna. W każdym punkcie przecięcia tworzy cztery kąty, a gdy obie proste są równoległe, kąty te łączą się w pary w przewidywalny sposób.

• Kąty odpowiadające leżą w tym samym położeniu przy każdym przecięciu. Przy prostych równoległych są równe.
• Kąty naprzemianległe wewnętrzne leżą między prostymi, po przeciwnych stronach siecznej. Przy prostych równoległych są równe.
• Kąty naprzemianległe zewnętrzne leżą na zewnątrz prostych, po przeciwnych stronach siecznej. Przy prostych równoległych są równe.
• Kąty jednostronne wewnętrzne leżą między prostymi po tej samej stronie siecznej. Przy prostych równoległych dają razem 180°.

Działa to też w drugą stronę: jeśli kąty odpowiadające lub naprzemianległe są równe, obie proste muszą być równoległe.

Kąt wzniesienia i kąt obniżenia

Kąt wzniesienia to kąt, pod jakim patrzysz w górę, od poziomu do czegoś nad tobą, na przykład do wierzchołka drzewa. Kąt obniżenia to kąt, pod jakim patrzysz w dół, od poziomu do czegoś pod tobą, na przykład do łodzi widzianej z klifu. Oglądane z obu końców tej samej linii wzroku oba kąty są równe.

Jeśli znasz odległość od obiektu, kąt wzniesienia daje jego wysokość: wysokość = odległość × tg(kąt).

Jak zmierzyć kąt wzniesienia telefonem

1. Otwórz kątomierz z kamerą i nakieruj celownik na wierzchołek mierzonego obiektu.
2. Odczytaj kąt albo zatrzymaj odczyt, aby go zapisać.
3. Wpisz odległość do podstawy, aby uzyskać wysokość. Działa też inklinometr: celuj wzdłuż dłuższej krawędzi telefonu.

Przykład: stoisz 20 m od drzewa i widzisz jego wierzchołek pod kątem 35°. Wysokość powyżej twoich oczu to 20 × tg 35° ≈ 14,0 m. Dodaj wysokość oczu, około 1,6 m, a drzewo ma około 15,6 m. Kalkulator spadku wykona ten sam rachunek dla dowolnej odległości i kąta.

Kąt nachylenia stoku, rampy albo dachu to jego kąt wzniesienia ponad poziom. Kalkulator spadku przeliczy go na procenty lub proporcję.

Jak zmierzyć kąt

• Na ekranie lub rysunku: nałóż kątomierz na ekranie na kąt i przeciągnij jego ramiona na linie.
• Na zdjęciu: otwórz obraz w pomiarze na zdjęciu i zaznacz trzy punkty.
• Na prawdziwej powierzchni: połóż na niej telefon i odczytaj inklinometr.
• Na papierze: wydrukuj kątomierz w rzeczywistej wielkości.

Odczytując papierowy kątomierz, przyłóż jego środek do wierzchołka, ustaw linię zera wzdłuż jednego ramienia i odczytaj skalę, która zaczyna się od zera przy tym ramieniu. Druga skala daje przez pomyłkę kąt przyległy.

Najczęstsze pytania

Ile jest rodzajów kątów?

Ze względu na miarę jest ich sześć: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły i pełny, a niektóre zestawienia dodają kąt zerowy i wychodzi siedem. Dłuższe listy, z 12 lub więcej rodzajami, liczą też pary kątów, takie jak kąty dopełniające, przyległe, sąsiednie i wierzchołkowe, które opisują, jak dwa kąty mają się do siebie, a nie jak duży jest jeden kąt.

Jaki to kąt: 95°?

Rozwarty. Każdy kąt większy niż 90° i mniejszy niż 180° jest rozwarty, nawet jeśli jest bardzo bliski 90°.

Czy kąt 90° jest ostry?

Nie. Kąty ostre mają mniej niż 90°. Kąt o mierze dokładnie 90° to kąt prosty.

Jakie kąty ma trójkąt?

Każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre, a trzeci kąt nadaje mu nazwę: trójkąt ostrokątny ma trzy kąty ostre, trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, a trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty.

Czy trójkąt może mieć dwa kąty rozwarte?

Nie. Trzy kąty trójkąta dają razem 180°, a same dwa kąty rozwarte przekroczyłyby już tę sumę. Trójkąt ma co najwyżej jeden kąt prosty lub jeden rozwarty; kalkulator trójkąta rozwiąże każdy trójkąt na podstawie trzech wartości.

Czym różni się kąt półpełny od wklęsłego?

Kąt półpełny ma dokładnie 180°. Kąt wklęsły to każdy kąt między 180° a 360°: większy niż linia prosta, ale mniejszy niż pełny obrót.

Jakie kąty mają kwadrat i równoległobok?

Kwadrat, jak każdy prostokąt, ma cztery kąty proste. Równoległobok, który nie jest prostokątem, ma dwa kąty ostre i dwa rozwarte: kąty naprzeciwległe są równe, a dwa kąty leżące obok siebie dają razem 180°.