Winkelarten

Was ist ein Winkel?

Ein Winkel ist das Maß der Drehung zwischen zwei Linien, den Schenkeln, die sich in einem Punkt treffen, dem Scheitel. Seine Größe hängt nicht davon ab, wie lang die Schenkel gezeichnet sind.

Winkel werden meist in Grad gemessen: Eine volle Umdrehung hat 360°, eine Vierteldrehung also 90°. In Mathematik und Technik ist außerdem das Bogenmaß üblich, bei dem eine volle Umdrehung 2π beträgt. Der Winkel-Umrechner rechnet zwischen Grad, Bogenmaß und weiteren Einheiten um.

Die sechs Winkelarten

Jeder Winkel zwischen 0° und 360° gehört zu einer dieser Arten.

Spitzer Winkel

Ein spitzer Winkel ist größer als 0° und kleiner als 90°: enger als die Ecke eines Quadrats.

• Die Spitze eines Pizzastücks oder eines Käsekeils.
• Die Uhrzeiger um 1 oder 2 Uhr.
• Eine leicht geöffnete Schere.

Zum Prüfen hältst du die Ecke eines Blatts Papier daran: Passt der Winkel in die Ecke hinein, ist er spitz. Wie du die gängigen Winkel zeichnest, steht unter 30°-, 45°- und 60°-Winkel.

Rechter Winkel

Ein rechter Winkel hat genau 90°, eine Vierteldrehung. Er wird mit einem kleinen Quadrat in der Ecke gekennzeichnet, und zwei Linien, die sich im rechten Winkel treffen, stehen senkrecht aufeinander.

• Die Ecken eines Buchs, einer Tür oder einer Fliese.
• Die Uhrzeiger um 3 Uhr.
• Eine Wand auf einem waagerechten Boden.

Eine echte Ecke prüfst du mit der 3-4-5-Regel: 3 Einheiten auf der einen Seite, 4 auf der anderen, und genau 5 zwischen den Markierungen bedeuten 90°. Weitere Wege, einen 90°-Winkel anzulegen und zu prüfen.

Stumpfer Winkel

Ein stumpfer Winkel ist größer als 90° und kleiner als 180°: weiter als eine rechtwinklige Ecke, aber noch keine gerade Linie.

• Ein Laptop-Bildschirm, der weiter als senkrecht nach hinten geklappt ist.
• Die Uhrzeiger um 5 Uhr.
• Die Innenwinkel eines Sechsecks, 120°.

Passt die Ecke eines Blatts Papier mit Luft in den Winkel, und bilden die Schenkel keine gerade Linie, ist er stumpf.

Gestreckter Winkel

Ein gestreckter Winkel hat genau 180°, eine halbe Umdrehung. Seine beiden Schenkel zeigen in entgegengesetzte Richtungen und bilden eine gerade Linie, deshalb kann jeder Punkt auf einer Geraden als Scheitel eines gestreckten Winkels gelten.

• Ein ganz aufgeschlagenes, flach liegendes Buch.
• Die Uhrzeiger um 6 Uhr.

Überstumpfer Winkel

Ein überstumpfer Winkel ist größer als 180° und kleiner als 360°. Jeder Winkel unter einer vollen Umdrehung hat einen überstumpfen Partner: den Weg andersherum um den Scheitel. Ein 60°-Winkel und ein überstumpfer Winkel von 300° teilen sich dieselben beiden Schenkel.

Den Partner, der zur vollen Umdrehung ergänzt, nennt man Ergänzungswinkel zu 360°; der Rechner für Komplement- und Supplementwinkel bestimmt ihn zusammen mit Komplement- und Supplementwinkel.

Vollwinkel

Ein Vollwinkel hat genau 360°: eine ganze Umdrehung, bei der der Schenkel wieder dort ankommt, wo er begonnen hat. Ein Nullwinkel mit 0° ist das Gegenteil: Beide Schenkel zeigen in dieselbe Richtung, und es gibt überhaupt keine Drehung.

Winkelpaare

Manche Winkel sind danach benannt, wie sie zu einem anderen Winkel stehen. Komplementwinkel ergänzen sich zu 90° und Supplementwinkel zu 180°; der Rechner für Komplement- und Supplementwinkel bestimmt beide und prüft jedes Paar.

Anliegende Winkel, Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Wenn sich zwei Geraden kreuzen, entstehen vier Winkel. Zieh an einer Geraden, um zu sehen, wie sie zusammenhängen.

• Anliegende Winkel haben denselben Scheitel und einen gemeinsamen Schenkel und überlappen sich nicht, wie a und b.
• Scheitelwinkel liegen sich am Scheitel gegenüber, wie a und c. Sie sind immer gleich groß.
• Nebenwinkel sind zwei anliegende Winkel, deren äußere Schenkel eine gerade Linie bilden, wie a und b. Sie ergänzen sich immer zu 180°.

Winkel an Parallelen

Eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet, heißt Schnittgerade oder Transversale. An jedem Schnittpunkt bildet sie vier Winkel, und wenn die beiden Geraden parallel sind, gehören diese Winkel auf feste Weise paarweise zusammen.

• Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in derselben Lage. An Parallelen sind sie gleich groß.
• Innere Wechselwinkel liegen zwischen den beiden Geraden, auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden. An Parallelen sind sie gleich groß.
• Äußere Wechselwinkel liegen außerhalb der beiden Geraden, auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden. An Parallelen sind sie gleich groß.
• Nachbarwinkel, auch entgegengesetzte Winkel genannt, liegen zwischen den Geraden auf derselben Seite der Schnittgeraden. An Parallelen ergänzen sie sich zu 180°.

Das gilt auch umgekehrt: Sind Stufen- oder Wechselwinkel gleich groß, müssen die beiden Geraden parallel sein.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Der Höhenwinkel ist der Winkel, unter dem du nach oben blickst, von der Waagerechten zu etwas über dir, etwa zur Spitze eines Baums. Der Tiefenwinkel ist der Winkel, unter dem du nach unten blickst, von der Waagerechten zu etwas unter dir, etwa zu einem Boot, das du von einer Klippe aus siehst. Von beiden Enden derselben Sichtlinie aus betrachtet sind die beiden Winkel gleich groß.

Kennst du die Entfernung zu einem Objekt, liefert der Höhenwinkel seine Höhe: Höhe = Entfernung × tan(Winkel).

So misst du einen Höhenwinkel mit dem Handy

1. Öffne den Kamera-Winkelmesser und richte das Fadenkreuz auf die Spitze des Objekts.
2. Lies den Winkel ab oder halte die Anzeige fest, um ihn zu notieren.
3. Gib die Entfernung zum Fußpunkt ein, um die Höhe zu erhalten. Der Neigungsmesser funktioniert ebenfalls: Peile entlang der langen Kante des Handys.

Beispiel: Du stehst 20 m von einem Baum entfernt und siehst seine Spitze unter 35°. Die Höhe über deinen Augen beträgt 20 × tan 35° ≈ 14,0 m. Rechnest du deine Augenhöhe von etwa 1,6 m dazu, ist der Baum etwa 15,6 m hoch. Der Steigungsrechner rechnet das für jede Entfernung und jeden Winkel aus.

Der Neigungswinkel eines Hangs, einer Rampe oder eines Dachs ist sein Höhenwinkel über der Waagerechten. Der Steigungsrechner rechnet ihn in Prozent oder ein Verhältnis um.

Wie misst man einen Winkel?

• Am Bildschirm oder auf einer Zeichnung: Leg den Winkelmesser am Bildschirm über den Winkel und zieh seine Schenkel auf die Linien.
• In einem Foto: Öffne das Bild in der Fotomessung und markiere drei Punkte.
• An einer echten Fläche: Leg dein Handy darauf und lies den Neigungsmesser ab.
• Auf Papier: Druck einen Winkelmesser in Originalgröße aus.

Beim Ablesen eines Winkelmessers aus Papier legst du seinen Mittelpunkt auf den Scheitel, richtest die Nulllinie an einem Schenkel aus und liest die Skala ab, die an diesem Schenkel bei null beginnt. Mit der anderen Skala liest du versehentlich den Supplementwinkel ab.

Häufige Fragen

Wie viele Winkelarten gibt es?

Nach ihrer Größe gibt es sechs: spitz, recht, stumpf, gestreckt, überstumpf und voll, und manche Listen zählen den Nullwinkel dazu und kommen auf sieben. Längere Listen mit 12 oder mehr Arten zählen auch Winkelpaare wie Komplement-, Supplement-, Neben- und Scheitelwinkel mit, die beschreiben, wie zwei Winkel zueinander stehen, und nicht, wie groß ein Winkel ist.

Welche Art von Winkel ist 95°?

Ein stumpfer Winkel. Jeder Winkel über 90° und unter 180° ist stumpf, egal wie nah er an 90° liegt.

Ist ein 90°-Winkel spitz?

Nein. Spitze Winkel sind kleiner als 90°. Ein Winkel von genau 90° ist ein rechter Winkel.

Welche Winkelarten gibt es im Dreieck?

Jedes Dreieck hat mindestens zwei spitze Winkel, und der dritte Winkel gibt ihm seinen Namen: Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel, ein rechtwinkliges Dreieck einen rechten Winkel und ein stumpfwinkliges Dreieck einen stumpfen Winkel.

Kann ein Dreieck zwei stumpfe Winkel haben?

Nein. Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°, und zwei stumpfe Winkel allein wären schon mehr. Ein Dreieck hat höchstens einen rechten oder einen stumpfen Winkel; der Dreiecksrechner löst jedes Dreieck aus drei Werten.

Was ist der Unterschied zwischen einem gestreckten und einem überstumpfen Winkel?

Ein gestreckter Winkel hat genau 180°. Ein überstumpfer Winkel liegt zwischen 180° und 360°: größer als eine gerade Linie, aber kleiner als eine volle Umdrehung.

Welche Winkel hat ein Quadrat oder ein Parallelogramm?

Ein Quadrat hat wie jedes Rechteck vier rechte Winkel. Ein Parallelogramm, das kein Rechteck ist, hat zwei spitze und zwei stumpfe Winkel: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, und zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°, sind also Supplementwinkel.