कोण के प्रकार

कोण क्या है?

कोण दो किरणों के बीच का घुमाव है, जिन्हें कोण की भुजाएँ कहते हैं, और जो एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे शीर्ष कहते हैं। कोण का माप इस बात पर निर्भर नहीं करता कि भुजाएँ कितनी लंबी खींची गई हैं।

कोण आम तौर पर डिग्री में मापे जाते हैं: एक पूरा चक्कर 360° होता है, इसलिए चौथाई चक्कर 90° होता है। गणित और इंजीनियरिंग में रेडियन भी इस्तेमाल होते हैं, जिनमें पूरा चक्कर 2π होता है। कोण परिवर्तक डिग्री, रेडियन और दूसरी इकाइयों के बीच बदलता है।

कोण के छह प्रकार

0° से 360° तक का हर कोण इनमें से किसी एक प्रकार का होता है।

न्यून कोण

न्यून कोण 0° से बड़ा और 90° से छोटा होता है: किसी वर्ग के कोने से ज़्यादा सँकरा।

• पिज़्ज़ा के टुकड़े या पनीर के तिकोने टुकड़े का नुकीला सिरा।
• 1 या 2 बजे घड़ी की सुइयाँ।
• थोड़ी-सी खुली कैंची।

जाँचने के लिए कागज़ का कोना उससे सटाएँ: अगर कोण कागज़ के कोने के अंदर समा जाए, तो वह न्यून कोण है। आम कोण बनाने के तरीके 30°, 45° और 60° के कोण में देखें।

समकोण

समकोण ठीक 90° का होता है, यानी चौथाई चक्कर। इसे शीर्ष पर एक छोटे वर्ग से दिखाया जाता है, और समकोण पर एक-दूसरे को काटने वाली दो रेखाएँ परस्पर लंब होती हैं।

• किताब, दरवाज़े या टाइल के कोने।
• 3 बजे घड़ी की सुइयाँ।
• समतल फ़र्श पर खड़ी दीवार।

किसी असली कोने को 3-4-5 नियम से जाँचें: एक भुजा पर 3 इकाई, दूसरी पर 4, और दोनों निशानों के बीच ठीक 5 इकाई का मतलब है 90°। 90° का कोण बनाने और जाँचने के और तरीके।

अधिक कोण

अधिक कोण 90° से बड़ा और 180° से छोटा होता है: समकोण से ज़्यादा खुला, लेकिन अभी सीधी रेखा नहीं।

• सीधी स्थिति से ज़्यादा पीछे झुकी लैपटॉप की स्क्रीन।
• 5 बजे घड़ी की सुइयाँ।
• षट्भुज के 120° वाले अंतःकोण।

अगर कागज़ का कोना कोण के अंदर आराम से समा जाए और भुजाएँ सीधी रेखा न बनाएँ, तो वह अधिक कोण है।

ऋजु कोण

ऋजु कोण ठीक 180° का होता है, यानी आधा चक्कर। इसकी दोनों भुजाएँ उलटी दिशाओं में होती हैं और एक सीधी रेखा बनाती हैं, इसलिए किसी सीधी रेखा के हर बिंदु को ऋजु कोण का शीर्ष माना जा सकता है।

• पूरी तरह खुली और सपाट रखी किताब।
• 6 बजे घड़ी की सुइयाँ।

प्रतिवर्ती कोण

प्रतिवर्ती कोण 180° से बड़ा और 360° से छोटा होता है। पूरे चक्कर से छोटे हर कोण का एक प्रतिवर्ती जोड़ीदार होता है: शीर्ष के चारों ओर दूसरी तरफ़ से घूमकर बनने वाला कोण। 60° का कोण और 300° का प्रतिवर्ती कोण एक ही दो भुजाएँ साझा करते हैं।

जो कोण किसी दूसरे कोण को पूरे चक्कर तक पूरा करता है, उसे 360° तक का पूरक कहते हैं; पूरक और संपूरक कोण टूल इसे पूरक और संपूरक कोण के साथ निकाल देता है।

पूर्ण कोण

पूर्ण कोण ठीक 360° का होता है: एक पूरा चक्कर, जिसके बाद भुजा वहीं लौट आती है जहाँ से चली थी। शून्य कोण, 0°, इसका उलटा है: दोनों भुजाएँ एक ही दिशा में होती हैं और कोई घुमाव नहीं होता।

कोण-युग्म

कुछ कोणों के नाम किसी दूसरे कोण से उनके संबंध के आधार पर रखे जाते हैं। पूरक कोणों का योग 90° और संपूरक कोणों का योग 180° होता है; पूरक और संपूरक कोण टूल दोनों निकालता है और किसी भी जोड़े की जाँच करता है।

आसन्न कोण, शीर्षाभिमुख कोण और रैखिक युग्म

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो चार कोण बनते हैं। उनके आपसी संबंध देखने के लिए किसी एक रेखा को खींचें।

• आसन्न कोणों का शीर्ष और एक भुजा साझा होती है और वे एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते, जैसे a और b।
• शीर्षाभिमुख कोण शीर्ष के आर-पार एक-दूसरे के सामने होते हैं, जैसे a और c। ये हमेशा बराबर होते हैं।
• रैखिक युग्म ऐसे दो आसन्न कोण होते हैं जिनकी बाहरी भुजाएँ मिलकर सीधी रेखा बनाती हैं, जैसे a और b। इनका योग हमेशा 180° होता है।

समांतर रेखाओं पर बनने वाले कोण

जो रेखा दो दूसरी रेखाओं को काटती है, उसे तिर्यक रेखा कहते हैं। यह हर कटान बिंदु पर चार कोण बनाती है, और जब दोनों रेखाएँ समांतर हों तो ये कोण तय नियमों के साथ जोड़ियाँ बनाते हैं।

• संगत कोण हर कटान बिंदु पर एक ही स्थिति में होते हैं। समांतर रेखाओं में ये बराबर होते हैं।
• एकांतर अंतःकोण दोनों रेखाओं के बीच, तिर्यक रेखा की उलटी तरफ़ होते हैं। समांतर रेखाओं में ये बराबर होते हैं।
• एकांतर बाह्य कोण दोनों रेखाओं के बाहर, तिर्यक रेखा की उलटी तरफ़ होते हैं। समांतर रेखाओं में ये बराबर होते हैं।
• तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण रेखाओं के बीच, तिर्यक रेखा की एक ही तरफ़ होते हैं। समांतर रेखाओं में इनका योग 180° होता है।

यह उलटा भी सही है: अगर संगत कोण या एकांतर कोण बराबर हों, तो दोनों रेखाएँ ज़रूर समांतर होंगी।

उन्नयन कोण और अवनमन कोण

उन्नयन कोण वह कोण है जिस पर आप ऊपर देखते हैं, क्षैतिज से अपने से ऊपर की किसी चीज़ तक, जैसे पेड़ की चोटी। अवनमन कोण वह कोण है जिस पर आप नीचे देखते हैं, क्षैतिज से अपने से नीचे की किसी चीज़ तक, जैसे चट्टान के ऊपर से दिखती नाव। एक ही दृष्टि-रेखा के दोनों सिरों से देखने पर ये दोनों कोण बराबर होते हैं।

अगर आपको किसी चीज़ की दूरी पता है, तो उन्नयन कोण से उसकी ऊँचाई मिल जाती है: ऊँचाई = दूरी × tan(कोण)।

फ़ोन से उन्नयन कोण कैसे मापें

1. कैमरे से माप खोलें और क्रॉसहेयर को उस चीज़ की चोटी पर रखें जिसे आप माप रहे हैं।
2. कोण पढ़ें, या लिखने के लिए रीडिंग रोक लें।
3. ऊँचाई पाने के लिए आधार तक की दूरी दर्ज करें। झुकाव मापक भी काम करता है: फ़ोन के लंबे किनारे की सीध में निशाना लगाएँ।

उदाहरण: आप एक पेड़ से 20 m दूर खड़े हैं और उसकी चोटी 35° पर दिखती है। आपकी आँखों से ऊपर की ऊँचाई 20 × tan 35° ≈ 14.0 m है। इसमें अपनी आँखों की ऊँचाई, लगभग 1.6 m, जोड़ दें, तो पेड़ लगभग 15.6 m ऊँचा है। ढलान कैलकुलेटर किसी भी दूरी और कोण के लिए यही हिसाब लगाता है।

किसी ढलान, रैंप या छत का आनति कोण क्षैतिज के ऊपर उसका उन्नयन कोण होता है। ढलान कैलकुलेटर इसे प्रतिशत या अनुपात में बदल देता है।

कोण कैसे मापें

• स्क्रीन या चित्र पर: स्क्रीन पर चाँदा कोण के ऊपर रखें और उसकी भुजाओं को रेखाओं पर खींचें।
• फ़ोटो में: तस्वीर को फ़ोटो पर माप में खोलें और तीन बिंदु चिह्नित करें।
• असली सतह पर: फ़ोन उस पर रखें और झुकाव मापक पढ़ें।
• कागज़ पर: असली आकार का चाँदा प्रिंट करें।

कागज़ का चाँदा पढ़ते समय उसका केंद्र शीर्ष पर रखें, शून्य रेखा को एक भुजा की सीध में करें, और वह पैमाना पढ़ें जो उस भुजा पर शून्य से शुरू होता है। दूसरा पैमाना पढ़ने पर गलती से संपूरक कोण मिल जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

कोणों के कितने प्रकार होते हैं?

माप के हिसाब से छह प्रकार हैं: न्यून, समकोण, अधिक, ऋजु, प्रतिवर्ती और पूर्ण, और कुछ सूचियाँ शून्य कोण जोड़कर सात बना देती हैं। 12 या उससे ज़्यादा प्रकार गिनाने वाली लंबी सूचियाँ कोण-युग्मों को भी गिनती हैं, जैसे पूरक, संपूरक, आसन्न और शीर्षाभिमुख कोण, जो यह बताते हैं कि दो कोण एक-दूसरे से कैसे जुड़े हैं, न कि किसी एक कोण का आकार कितना है।

95° कौन-सा कोण है?

अधिक कोण। 90° से बड़ा और 180° से छोटा हर कोण अधिक कोण होता है, चाहे वह 90° के कितना भी करीब हो।

क्या 90° का कोण न्यून कोण है?

नहीं। न्यून कोण 90° से छोटे होते हैं। ठीक 90° का कोण समकोण होता है।

त्रिभुज में किस तरह के कोण होते हैं?

हर त्रिभुज में कम से कम दो न्यून कोण होते हैं, और तीसरा कोण ही उसे नाम देता है: न्यूनकोण त्रिभुज के तीनों कोण न्यून होते हैं, समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है, और अधिककोण त्रिभुज में एक अधिक कोण होता है।

क्या किसी त्रिभुज में दो अधिक कोण हो सकते हैं?

नहीं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, और सिर्फ़ दो अधिक कोण ही इससे ज़्यादा हो जाएँगे। किसी त्रिभुज में ज़्यादा से ज़्यादा एक समकोण या एक अधिक कोण हो सकता है; त्रिभुज कैलकुलेटर तीन मानों से कोई भी त्रिभुज हल कर देता है।

ऋजु कोण और प्रतिवर्ती कोण में क्या अंतर है?

ऋजु कोण ठीक 180° का होता है। प्रतिवर्ती कोण 180° और 360° के बीच का कोई भी कोण होता है: सीधी रेखा से बड़ा, लेकिन पूरे चक्कर से छोटा।

वर्ग और समांतर चतुर्भुज में कैसे कोण होते हैं?

किसी भी आयत की तरह वर्ग में भी चार समकोण होते हैं। जो समांतर चतुर्भुज आयत नहीं होता, उसमें दो न्यून और दो अधिक कोण होते हैं: सामने वाले कोण बराबर होते हैं, और साथ लगे किन्हीं दो कोणों का योग 180° होता है।